Matematika Kelas 11 / XI
Bab 1 (Program Linear)
Halaman : 14-15-16-17
1. PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000,00 dan Rp 1.500.000,00.
Modelkan permasalahan di atas!
Jawab:
Dik: tanah 12.000 meter
2 tipe rumah (mawar=130 m2 dan melati=90m2
Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit
laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000,00 dan Rp 1.500.000,00.
Dit: Modelkan pemasalahan tersebut !
Penyelesaian :
Pertama, kita buat tabelnya.
Misalkan tipe rumah mawar = x dan tipe rumah melati = y.
Tipe Mawar Tipe Melati Jumlah
Luas tanah (m²) 130x 90y 12.000
Banyaknya unit (buah) x y 150
Laba (rupiah) 2.000.000,00 1.500.000,00
Model matematika dari persoalan di atas adalah
130x + 90y ≤ 12.000
⇔ 13x + 9y ≤ 1.200;
x + y ≤ 150;
x ≥ 0;
y ≥ 0.
Fungsi optimumnya adalah F(x, y) = 2.000.000x + 1.500.000y
Kemudian, dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik potong dari garis-garis
13x + 9y = 1.200 |.1|
x + y = 150 |.13|
Kita eliminasi x, diperoleh
13x + 9y = 1.200
13x + 13y = 150
______________-
⇔ -4y = 1.050
⇔ y =
⇔ y = -262,5
substitusikan y = -262,5 ke persamaan
x + y = 150
⇔ x = 150 - y
⇔ x = 150 - (-262,5)
⇔ x = 412,5
Ingat syarat y ≥ 0, namun nilai y di atas negatif. Sehingga titik (412,5; -262,5) tidak digunakan.
Berdasarkan gambar pada lampiran, kita peroleh titik-titik yang disusbtitusikan ke fungsi optimum F(x, y) = 2.000.000x + 1.500.000y
(0, ) →
F(x, y) = 2.000.000(0) + 1.500.000() = 0 + = 200.000.000
(, 0) →
F(x, y) = 2.000.000() + 1.500.000(0) = = 800.000.000.
Jadi, harga maksimumnya Rp800.000.000,00 dan harga minimumnya Rp200.000.000,00.
Persoalan di atas kita buat model matematikanya.
2. Klinik “Dewi” akan membuka cabang baru di daerah padat penduduk. Untuk itu, pemilik klinik merancang sebuah jadwal jaga perawat yang akan bertugas, seperti berikut ini.
Jawab:
Dik: Klinik Dewi merancang sebuah jadwal jaga perawat yang akan bertugas seperti pada tabel
Dit: Rumuskan masalah penjadwalan dalam model matematika !
Penyelesaian:
3. Tentukanlah pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah penyelesaian dibawah ini.
Jawab: "BELUM TERSEDIA"
4. Gambarkanlah daerah penyelesaian setiap sistem pertidaksamaan di bawah ini.
a) 2x + y ≥ 24
x ≥ 5
b) 2y ≤ 5 − 6x
1 ≤ y ≤ 6
Jawab:
Dik:
a) 2x + y ≥ 24
x ≥ 5
b) 2y ≤ 5 − 6x
1 ≤ y ≤ 6
Dit: Gambarkanlah daerah penyelesaian setiap sistem pertidaksamaan !
Penyelesaian:
1. Kordinat 1 (12,0) (0,24)
Kordinat 2 (5,0)
2. Kordinat 1 (5/6,5/2)
Kordinat 2 (0,1)
Kordinat 3 (0,6)
5. Cermati pertidaksamaan ax + by ≥ c.
Untuk menentukan daerah penyelesaian (bersih) pada bidang koordinat, selain dengan menggunakan uji titik, selidiki hubungan tanda koefisien x dan y terhadap daerah penyelesaian (bersih) pertidaksamaan.
Jawab:
Dik: Pertidaksamaan ax+by ≥ c
Dit: selidiki hubungan tanda koefisien x dan y terhadap daerah penyelesaian (bersih) pertidaksamaan.
Penyelesaian:
Persamaan :
A.3x-2=...... (satu variabel)
B.2x-4y=...... (dua vriabel)
Pertidaksamaan;
2x-5>12=...... (satu variabel)
Kuadrat dua variabel:
A.3p²-2q²-2pq=..... (persamaan)
B.x²-3x-10<0=........ (pertidaksamaan)
6. Perhatikan grafik-grafik di bawah ini.
Nyatakan pertidaksamaan-pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah yang memenuhi.
Jawab: "BELUM TERSEDIA"
7. Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap 1 tablet, Rp1.500,00 dan Rp2.000,00.
Modelkan masalah di atas.
Jawab:
Dik: Pada pertanyaan
Dit: Modelkan masalah tersebut !
Penyelesaian:
Persoalan di atas bisa kita buat model matematikanya.
Pertama, kita buat tabelnya.
Vitamin A Vitamin B Harga
___________________________________________
Tablet 1 5 3 Rp1.500,00
Tablet 2 10 1 Rp2.000,00
___________________________________________
Total 20 5
Misalkan tablet 1 sebanyak x buah dan tablet 2 sebanyak y buah, maka model matematika dari persoalan di atas adalah
5x + 10y ≤ 20,
3x + y ≤ 5,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
Fungsi optimumnya adalah f(x, y) = 1.500x + 2.000y.
8. Dengan persediaan kain polos 20 meter dan kain bergaris 10 meter, seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan 1 meter kain polos dan 1,5 meter kain bergaris. Model II memerlukan 2 meter kain polos dan 0.5 meter kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp15.000,00 dan model II memperoleh untung Rp10.000,00. (UAN 2004 No. 22)
Nyatakan masalah di atas dalam model matematika
Jawab:
Dik: Pada pertanyaan
Dit: Modelkan masalah tersebut !
Penyelesaian:
Persoalan di atas dapat kita buat model matematikanya.
Pertama, kita buat tabelnya.
Model I Model II Total
________________________________________________________
Kain polos 1 m 2 m 20 m
Kain bergaris 1,5 m 0,5 m 10 m
________________________________________________________
Keuntungan Rp15.000,00 Rp10.000,00
Misalkan model I sebanyak x buah dan model II sebanyak y buah, maka model matematika dari persoalan di atas adalah
1x + 2y ≤ 20,
1,5x + 0,5y ≤ 10,
x ≥ 0,
y ≥ 0,
Fungsi optimumnya f(x, y) = 15.000x + 10.000y.
9. Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir, Rangkaian II memerlukan 20 tankai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Rangkaian I dijual seharga Rp200.000,00, dan Rangkaian II dijual seharga Rp100.000,00 per rangkaian. (UN 2006 No. 21)
Modelkan masalah di atas dalam bentuk model matematika.
Jawab:
Dik: Pada pertanyaan
Dit: Modelkan masalah tersebut !
Penyelesaian:
Misalkan :
x = banyak rangkaian bunga pertama
y = banyak rangkaian bunga kedua
Maka :
rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir
====> x = 10mawar + 15anyelir
rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir
====> y = 20mawar + 5anyelir
Jumlah kedua tangkai bunga :
10x + 20y ≤ 200
15x + 5y ≤ 100
Fungsi objektif :
f(x,y) = 200.000x + 100.000y
Model matematika :
x,y ≥ 0
10 x + 20y ≤ 200
15 x + 5y ≤ 100
f(x,y) = 200.000x + 100.000y
{x,y} ∈ A
10. Perhatikan masalah yang dihadapi seorang penjaja buah-buahan berikuti ini. Pak Benni, seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp 18.000,- tiap kilogram dan pisang Rp8.000,00,- tiap kilogram. Beliau hanya memiliki modal Rp2.000.000,00, sedangkan muatan gerobak tidak lebih dari 450 kilogram. Padahal keuntungan tiap kilogram apel 2 kali keuntungan tiap kilogram pisang.
Rumuskanlah model matematika masalah di atas.
Jawab:
Dik: Pada pertanyaan
Dit: Modelkan masalah tersebut !
Penyelesaian:
Misalkan :
x = Banyak apel
y = Banyak pisang
Maka :
beliau hanya memiliki modal 2 juta
====> 18.000x + 8.000y ≤ 2.000.000
disederhanakan ===> 9x + 4y ≤ 1.000
muatan gerobak tidak lebih dari 450 kg
====> x + y ≤ 450
Fungsi objektif :
misalkan untung pisang = a
f(x,y) = 2ax + ay
Model matematika :
x,y ≥ 0
9 x + 4y ≤ 200
x + y ≤ 100
f(x,y) = 2ax + ay
{x,y,} ∈ A