Jawaban Uji Kompetensi 8.1 Bab 8 Matematika Kelas XI Halaman 62 (Aturan Pencacahan)

Bab 8 Aturan Pencacahan
Uji Kompetensi 8.1
Halaman 62
Matematika (MTK)
Kelas XI (11) SMA/SMK/MAK
Semester K13

1. Seorang staff ahli di suatu POLDA mendapat tugas untuk menyusun nomor pada plat kendaraan roda empat yang terdiri 3 angka dan 4 angka. Staff tersebut hanya diperbolehkan menggunakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 untuk plat yang terdiri dari 3 angka dan angka 0 sampai 9 untuk plat yang terdiri 4 angka.
a) Berapa cara menyusun plat kendaraan yang terdiri dari 3 angka dan 4 angka?
b) Jika nomor-nomor plat tersebut akan dilengkapi dengan seri yang terdiri dari dua huruf vokal. Berapa banyak susunan seri plat yang mungkin?
Jawab:
a) >Tiga angka
Dengan cara berikut:
n(n-1)(n-2)
Dengan n adalah banyak angka yang dapat dimasukkan.
Maka, 6(6-1)(6-2) = 6.5.4 = 120 cara
> Empat angka
dimulai dari 1, Sehingga, dengan n = 10 (0 sampai 9)
Banyak angka:
(n-1)(n-1)(n-2)(n-3) = 9.9.8.7 = 4.536 cara
Maka jumlahnya ada 4.656 cara.

b) Jika ditambah 2 huruf vokal,
Cukup dikalikan dengan 5 x 5 = 25
Maka,
Banyak susunan ada 116.400 cara

2. Diberikan angka-angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9.rangkailah bilangan yang terdiri dari angka 5 yang berbeda dengan syarat :
a) bilangan ganjil
b) bilangan genap
Jawab:
a) Bilangan ganjil:
Ada 0,2,4,6,8
Ada 5 satuan yang harus diperhatikan
n = 10
Maka, bilangan yang terjadi:
(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)5
Maka,
9.8.7.6.5 = 15.120 cara

b) Dengan bilangan genap, sama saja.
Hanya saja tidak ada angka 0 di depan.
Maka,
(n-2)(n-2)(n-3)(n-4)5
8.8.7.6.5 = 13.440 cara.

3. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka hitunglah banyak cara perjalanan orang tersebut.
Jawab:

Perjalanan dari A ke C dengan melalui B.

4 x 3 = 12 cara,

Untuk pulangnya, dengan tidak ingin naik kendaraan yang sama,

Kurangi masing-masing 1, didapat:

3 x 2 = 6 cara,

Cara berangkat = 12 cara

Cara pulang = 6 cara.

Banyak cara perjalanan = Kalikan keduanya,

12 x 6 = 72 cara

4. Tentukan nilai dari: 89!×38!/86!×41!

Jawab:

89!x38!/86!x41!
=89x88x87/41x40x39
=681384/63960
=10,6

5. Sederhanakanlah persamaan berikut:
a. n!/(n-1)!
b. (n+2)/n!
c. (n+1)!/(n-1)!
Jawab:

a)
$\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}=n$
b)
$\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)$
c)
$\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=n(n+1)$

6. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris?
Jawab:

Banyak garis = 8 C3 = 8! / (8-3)! . 3!
= 8 ! / (5! . 3!)
= 8 .7. 6. 5! / 5!. (3.2)
= 8 . 7. 6. 5! / 6. 5!
= 8 . 7
= 56

8. Tentukan banyak susunan pemain yang berbeda dari team bola voli yang terdiri dari 10 pemain bila salah seorang selalu menjadi kapten dan seorang lain tidak bisa bermain karena cedera!
Jawab:

Tim bola voli umumnya terdiri dari 6 pemain. Tim yang terdiri dari 6 pemain ini dibentuk dari 10 pemain yang ada, karena satu orang tidak bisa bermain karena cedera, maka hanya ada 9 pemain yang bisa mengisi tim tersebut. Karena 1 orang pasti menjadi kapten tim, maka tinggal 5 pemain yang harus dipilih dari 8 pemain sisanya. Dengan demikian banyaknya susunan tim bola voli adalah : $_8C_5= \frac{8!}{(8-5)!5!}=\frac{8.7.6.5!}{3!5!}=\frac{8.7.6}{3.2.1}=56$

9. Berapa banyak cara untuk menempatkan 3 anak laki-laki dan 2 anak perempuan duduk berjajar tanpa membedakan tiap anak?
Jawab:

Syarat, laki dan perempuan seluruhnya tidak terpisah.Maka, 2! (Laki dan perempuan) = 2Yang mana 3 laki-laki boleh bertukar tempat : 3! = 6Dan 2 perempuan boleh bertukar tempat juga : 2! = 2Sehingga, banyak cara:2 x 6 x 2 = 24 cara

10. Suatu delegasi terdiri dari 3 pria dan 3 wanita yang dipilih dari himpunan 5 pria yang berbeda usia dan 5 wanita yang juga berbeda usia. Delegasi itu boleh mencakup paling banyak hanya satu anggota termuda dari kalangan wanita atau anggota termuda dari kalangan pria. Hitunglah banyak cara memilih delegasi tersebut.

Jawab:

Pria = p wanita = w

P₁ P₂ P₃ P₄I P₅, W₁,W₂ W₃ W₄| W₅
---------------------------------------...
anggap si P₁ dan si W₁ anggora termuda

jika si P₁ masuk si W₁ tidak sebaliknya berarti ada 2 kejadian
pake teori binomial mirip peluang gender
berarti (₄C₂)² = 6*6 = 36.................₁
---------------------------------------...

trus bisa juga dikelompok itu 2 wanita 3 laki laki atau sebaliknya ada 2 kejadian juga

berarti (₄C₃)² = 16.........................₂

sekarang ada 2 anggota termuda dipilih satu dari 3 laki-laki atau atau sebaliknya
maka (₂C₁)²(₃C₂) = 4*3 = 12..............₃

36 + 16 + 12 = 64 cara

11. Seminar Matematika dihadiri oleh 20 orang. Pada saat bertemu mereka saling berjabat tangan satu dengan yang lain. Berapakah jabat tangan yang terjadi?
Jawab:

Untuk kasus jabat tangan,Menggunakan kombinasi n dari 2, sehingga,Jabat tangan yang terjadi: $nCp = \frac{n!}{(n-p)p!}$
$_{20}C_{2} = \frac{20!}{(20-2)! p!} = \frac{20!}{18! 2!} = 190$

12. Perhatikan gambar berikut.

Jika suatu segitiga dibentuk dengan menggunakan 3 titik. Berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk.
Jawab:

Setiap 4 titik akan dapat membuat 4 segitigaAda 9 ruang yang terbuat dari 4 titikmaka jumlah segitiga: 4 x 9 = 36 segitiga.

13. Tentukanlah banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf:
a. MATEMATIKA
b. PENDIDIKAN
c. TRIGONOMETRI
d. MALAKA
Jawab:

11. Jabarkanlah bentuk binomial berikut ini:
a. (2a + 3b)^8
b. (4a + 2b)^10
c. 2a + (b^6/2)
d. 2a/3 + 1^8/3b
Jawab:
a. (2a + 3b)^8

pakai segitiga pascal
hsilnya: 256a8 + 3072a7b + 16128a6b2 + 39744a5b3 + 90270a4b4 + 89424a3b5 + 81648a2b6 + 34992a2b7+ 6561b8

b. (4a + 2b)¹⁰
= (4a)¹⁰ + 10(4a)⁹(2b) + 45(4a)⁸(2b)² + 120(4a)⁷(2b)³ + 210(4a)⁶(2b)⁴ + 252(4a)⁵(2b)⁵ + 210(4a)⁴(2b)⁶ + 120(4a)³(2b)⁷ + 45(4a)²(2b)⁸ + 10(4a)(2b)⁹ + (2b)¹⁰
= 1.048.576a¹⁰ + 4.242.880a⁹b + 11.796.480a⁸b² + 15.728.640a⁷b³ + 13.762.560a⁶b⁴ + 8.257.536a⁵b⁵ + 3.440.640a⁴b⁶ + 983.040a³b⁷ + 184.320a²b⁸ + 20.480ab⁹ + 1.024b¹⁰

c. 2a + (b^6/2)
Gunakan segitiga pascal untuk mengambil koefisien.
1 n =0
1 1 1
1 2 1 2
1 3 3 1 3
1 4 6 4 1 4
1 5 10 10 5 1 5
1 6 15 20 15 6 1 6

(A+B)⁶ = A⁶+6 A⁵B + 15 A⁴B² + 20 A³B³ + 15 A²B⁴ + 6 AB⁵ + B⁶
(2a + b/2)⁶ --> A = 2a, B = b/2
(2a+b/2)⁶ = (2a)⁶+ 6 (2a)⁵(b/2) + 15 (2a)⁴(b/2)² + 20 (2a)³(b/2)³ + 15 (2a)²(b/2)⁴ + 6 (2a)(b/2)⁵ + (b/2)⁶
= 64a⁶ + 96a⁵b + 60a⁴b² + 20a³b³ + 15/4 a²b⁴ + 3/8 ab⁵ + b⁶/64

d. 2a/3 + 1^8/3b

----------?

Jawaban Uji Kompetensi 8.1 Bab 8 Matematika Kelas XI Halaman 62 (Aturan Pencacahan)

Related Posts