Jawaban Latihan 1.4 Bab 1 Matriks MTK Kelas 12 Halaman 51

Bab 1 Matriks
Latihan 1.4
Halaman 51
Matematika (MTK)
Kelas 12 (XII) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13

1. Tentukan invers matriks berikut.

a. A = [-2 5]

[4 0]

B = [4 0 7]

[5 1 - 2]

[0 3 -1]

Jawab:

__________________________________________

2. Buatlah matriks A berordo 2×2 yang memiliki invers matriks

A^-1= [4 -2]

[3 -2]

Jawab:

__________________________________________

3. Gunakan matriks persegi B dengan det(B) ≠ 0 untuk menunjukkan bahwa

a. (B-¹)-¹ = B

b. (Bt)-¹ = (b-¹)t

Jawab:

__________________________________________

4. Selidiki bahwa det(K^n)=(det K)^n untuk matriks :

a. A= [4 1]

[3 -2]

dengan n=4

b. A= [2 -1 3]

[1 2 4]

[5 -3 6]

dengan n=2

catatan : didefinisikan K^n = K x K^n-1

Jawab:

a.)

Dengan A⁴

Berdasarkan hasil berikut:

$$\begin{align}A^2&=\left[\begin{array}{ccc}4&1\\3&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}4&1\\3&-2\end{array}\right]&&=\left[\begin{array}{ccc}16+3&4-2\\12-6&3+4\end{array}\right]&&=\left[\begin{array}{ccc}19&2\\6&7\end{array}\right] \\ A^3&=\left[\begin{array}{ccc}19&2\\6&7\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}4&1\\3&-2\end{array}\right]&&=\left[\begin{array}{ccc}76+6&19-4\\24+21&6-14\end{array}\right]&&=\left[\begin{array}{ccc}82&15\\45&-8\end{array}\right]\end{align}$

$$\begin{align}A^4&=\left[\begin{array}{ccc}82&15\\45&-8\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}4&1\\3&-2\end{array}\right]&&=\left[\begin{array}{ccc}328+45&82-30\\180-24&45+16\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}373&52\\156&61\end{array}\right]\end{align}$

Dengan demikian, cek validasi:

$$\begin{align}\det(A^4)&=^?(\det(A))^4 \\ 373\times61-156\times52&=^?(4\times(-2)-3\times1)^4 \\ 22.753-8.112&=^?(-8-3)^4 \\ 14.641&=^?(-11)^4 \\ 14.641&=14.641\ \ \boxed{\text{Valid}}\end{align}$

b.)

$$\begin{align}A^2&=\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\1&2&4\\5&-3&6\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\1&2&4\\5&-3&6\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}4-1+15&-2-2-9&6-4+18\\2+2+20&-1+4-12&3+8+24\\10-3+30&-5-6-18&15-12+36\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}18&-13&20\\24&-9&35\\37&-29&39\end{array}\right]\end{align}$

Cek validasi determinan:

$$\begin{align}\det(A^2)&=-6.318-16.835-13.920-[-6.660-18.270-12.168] \\ &= -37.073-(-37.098) \\ &=-37.073+37.098 \\ &=25\end{align}$

Dengan:

$$\begin{align}(\det(A))^2&=(24-20-9-(30-24-6))^2 \\ &=(24-29-0)^2 \\ &=(-5)^2 \\ &=25\end{align}$

Karena sama, maka:

$25&=25\ \ \boxed{\text{Valid}}$

__________________________________________

5. Jika semua elemen pada salah satu baris matriks persegi adalah nol. Apakah matriks tersebut memiliki invers? Mengapa?

Jawab:

Matriks tersebut tidak memiliki invers karena hasil det nya 0

suatu matriks memiliki invers jika dan hanya jika matriks itu merupakan matriks persegi yang memiliki det tidak sama dengan 0

__________________________________________

6. Jika matriks persegi A= abcd dengan a, b, c, dan d adalah bilangan bulat, tentukan semua kemungkinan matriks A yang memenuhi persamaan A2= I.

Jawab:

__________________________________________

7. Adakah suatu matriks yang inversnya adalah diri sendiri?

Jawab:

Matriks yang inversnya adalah diri sendiri disebut matriks yang involutory, dalam hal ini adalah matriks identitas.

Matriks identitas disebut juga sebagai matriks satuan karena memiliki nilai-nilai elemen atau anggota pada diagonal utama adalah 1 dan nilai-nilai elemen lainnya adalah 0. Matriks identitas termasuk jenis matriks persegi sebab banyaknya baris dan kolom adalah sama, sehingga ordonya n x n.

Berikut pembuktian bahwa matriks identitas merupakan suatu matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri.

Ingat, jika $A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$ maka matriks inversnya adalah $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\\\end{array}\right]$