Kunci Jawaban MTK Kelas 11 Halaman 24 - 26 Uji Kompetensi 1.2
Halo gaes kembali lagi diwebsite saya, pada pembahasan kali ini saya akan membagikan sebuah kunci jawaban yang akan memudahkan teman-teman dalam mengerjakan tugas sekolah. Nah pada artikel kali ini saya akan bahas pelajaran Matematika atau MTK.
Untuk tingkat atau jenjangnya yaitu untuk Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK untuk ketentuan bukunya, soal-soal yang akan saya bahas kunci jawabannya ini terdapat dalam Buku Kemdikbud Kurikulum 2013 Revisi tahun 2017.
Secara detailnya, saya akan bahas Kunci Jawaban Matematika Kelas 11 Halaman 24 - 26 Uji Kompetensi 1.2 dan terdapat pada Bab 1 Induksi Matematika. Semoga dengan adanya artikel seputar kunci jawaban ini bisa membantu teman-teman atau siswa-siswa dalam mengerjakan Tugas Sekolah dan membantu para guru dalam memberikan pelajaran kepada muridnya.
Disclaimer : Kunci Jawaban yang saya tulis diwebsite ini tidak menjadi patokan pasti benar, saya hanya membantu dan silahkan cek lagi apabila jawaban yang saya berikan kurang memuaskan
Pembahasan :
Jawaban :
a. Dalam bilangan asli terdapat paling sedikit satu bilangan prima p hingga n =p.k > p < p.k +6
Pernyataan pada soal tersebut terbukti salah, seharusnya n > p < n + 6
b. a2 + b2 = c2 + d2
(a - b)2 + 2ab = (c - d)2 + 2cd
terlihat kesamaan bahwa
(a - b) = (c - d)
atau
2ab = 2cd
a = d dan b = c
(komutatif perkalian)
Terbukti
Pernyataan pada soal tersebut terbukti salah, seharusnya n > p < n + 6
b. a2 + b2 = c2 + d2
(a - b)2 + 2ab = (c - d)2 + 2cd
terlihat kesamaan bahwa
(a - b) = (c - d)
atau
2ab = 2cd
a = d dan b = c
(komutatif perkalian)
Terbukti
2. Rancang suatu formula untuk setiap pola barisan yang diberikan.
Jawaban :
a. 5, 13, 21, 29, 37, 45, ....
Angka di atas merupakan barisan aritmatika karena perbedaan antar dua sukunya tetap yakni selalu bertambah 8
a = 5
b = 13 - 5 = 8
Rumus suku ke n:
Un = a + (n-1)b
Un = 5 + (n-1)8
Un = 5 + 8n-8
Un = 8n - 3
b. 6, 15, 30, 51, 78, 111, 9, 15, 21, 27, 33, 6, 6, 6, 6
a = 6, b = 9, c = 6
Un = a + b(n-1) + c(n-1)(n-2)/2
Un = 6 + 9(n-1) + 6(n-1)(n-2)/2
Un = 6 + 9n-( + 3(n-1)(n-2)
Un = 9n - 3 + 3(n² - 3n +2)
Un = 3n² + 3
c. 0, 6, 16, 30, 48, 70
+ 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 4 + 4 + 4
2a = 4
a = 2
3a + b = 6
6 + b = 6
b = 0
2 + b + c = 0
2 + 0 + c = 0
c = -2
Un = an² + bn + c
Un = 2n² + (0)n - 2
Un = 2n² - 2
Un = 2(n² - 1)
d. -2, 1, 6, 13, 22, 33, ...
Angka di atas merupakan barisan aritmatika bertingkat karena beda antar dua sukunya tidak tetap
2a = 2
a = 1
3a + b = 3
3(1) + b = 3
b = 0
a + b + c = -2
1 + 0 + c = -2
c = -3
Jadi rumus suku ke n:
Un = an² + bn c
Un = 1n² + 0n + (-3)
Un = n² - 3
e. -1, 8, 23, 44, 71, 104, ...
a = -1, b = 9, c = 6
Un = a + (n-1)b + c/2(n-1)(n-2)
Un = -1 + (n-1)0 + 6/2 (n²-3n+2)
Un -1 + 9n - 9 + 3n² - 9n + 6
Un = 3n² - 10 + 6
un = 3n² - 4
Angka di atas merupakan barisan aritmatika karena perbedaan antar dua sukunya tetap yakni selalu bertambah 8
a = 5
b = 13 - 5 = 8
Rumus suku ke n:
Un = a + (n-1)b
Un = 5 + (n-1)8
Un = 5 + 8n-8
Un = 8n - 3
b. 6, 15, 30, 51, 78, 111, 9, 15, 21, 27, 33, 6, 6, 6, 6
a = 6, b = 9, c = 6
Un = a + b(n-1) + c(n-1)(n-2)/2
Un = 6 + 9(n-1) + 6(n-1)(n-2)/2
Un = 6 + 9n-( + 3(n-1)(n-2)
Un = 9n - 3 + 3(n² - 3n +2)
Un = 3n² + 3
c. 0, 6, 16, 30, 48, 70
+ 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 4 + 4 + 4
2a = 4
a = 2
3a + b = 6
6 + b = 6
b = 0
2 + b + c = 0
2 + 0 + c = 0
c = -2
Un = an² + bn + c
Un = 2n² + (0)n - 2
Un = 2n² - 2
Un = 2(n² - 1)
d. -2, 1, 6, 13, 22, 33, ...
Angka di atas merupakan barisan aritmatika bertingkat karena beda antar dua sukunya tidak tetap
2a = 2
a = 1
3a + b = 3
3(1) + b = 3
b = 0
a + b + c = -2
1 + 0 + c = -2
c = -3
Jadi rumus suku ke n:
Un = an² + bn c
Un = 1n² + 0n + (-3)
Un = n² - 3
e. -1, 8, 23, 44, 71, 104, ...
a = -1, b = 9, c = 6
Un = a + (n-1)b + c/2(n-1)(n-2)
Un = -1 + (n-1)0 + 6/2 (n²-3n+2)
Un -1 + 9n - 9 + 3n² - 9n + 6
Un = 3n² - 10 + 6
un = 3n² - 4
3. Selidiki kebenaran setiap pernyataan matematis berikut ini.
Jawaban :
a. 3² + 4² = 5²
3x3 + 4x4 = 5x5
9 + 16 = 25
25 = 25
Pernyataan ini benar.
3³ + 4³ + 5³ = 6³
3x3x3 + 4x4x4 = 5x5x5 = 6x6x6
27 + 64 + 125 = 216
216 = 216
b. P(n) = n² + 21n + 1 adalah bilangan prima
P(1) = 1² +21.1 + 1
= 1 + 21 + 1 = 23 merupakan bilangan prima.
Maka pernyataan benar.
3x3 + 4x4 = 5x5
9 + 16 = 25
25 = 25
Pernyataan ini benar.
3³ + 4³ + 5³ = 6³
3x3x3 + 4x4x4 = 5x5x5 = 6x6x6
27 + 64 + 125 = 216
216 = 216
b. P(n) = n² + 21n + 1 adalah bilangan prima
P(1) = 1² +21.1 + 1
= 1 + 21 + 1 = 23 merupakan bilangan prima.
Maka pernyataan benar.
4. Untuk soal nomor 2, buktikan formula yang ditemukan dengan menggunakan induksi matematika.
Jawaban :
n = 1, maka P(1) = 8.1 - 3 = 5, P(1) benar
n = 2, maka P(2) = 8.2 - 3 = 13, P(2) benar
Induksi:
Karena P(1) dan P(2) benar, maka untuk n = k, yaitu P(k) = 8k - 3 juga dikatakan benar untuk k bilangan asli.
Akan ditunjukkan bahwa n = k +1, yaitu P(k+1) = 8(k+1) - 3 untuk setiap k bilangan asli adalah suatu pernyataan yang benar.
Maka diperoleh:
P(k + 1) = 5, 13, 21, 29, 37, 45, .... , 8k - 3, 8k +5
P(k + 1) = 8k+ 5
P(k + 1) = 8k + 8 -3
P(k + 1) = 8(k + 1) - 3
Jadi P(k + 1) = 8(k + 1) -3 = 8k + 5 tebukti benar untuk setiap k bilangan asli.
Karena dua peinsip induksi matematika terpenuhi maka disimpulkan bahwa formula pola barisan 5, 13, 21, 29, 37, 45, ..., 8n -3, benar untuk setiap n bilangan asli.
n = 2, maka P(2) = 8.2 - 3 = 13, P(2) benar
Induksi:
Karena P(1) dan P(2) benar, maka untuk n = k, yaitu P(k) = 8k - 3 juga dikatakan benar untuk k bilangan asli.
Akan ditunjukkan bahwa n = k +1, yaitu P(k+1) = 8(k+1) - 3 untuk setiap k bilangan asli adalah suatu pernyataan yang benar.
Maka diperoleh:
P(k + 1) = 5, 13, 21, 29, 37, 45, .... , 8k - 3, 8k +5
P(k + 1) = 8k+ 5
P(k + 1) = 8k + 8 -3
P(k + 1) = 8(k + 1) - 3
Jadi P(k + 1) = 8(k + 1) -3 = 8k + 5 tebukti benar untuk setiap k bilangan asli.
Karena dua peinsip induksi matematika terpenuhi maka disimpulkan bahwa formula pola barisan 5, 13, 21, 29, 37, 45, ..., 8n -3, benar untuk setiap n bilangan asli.
5. Diketahui n ∈ N, gunakan prinsip induksi matematika, untuk membuktikan sifat-sifat berikut
Jawaban :
6. Jawaban :
Bagian kiri ditulis :
n+ (n+1)
k(k+1) + (k+1)(k+2)
Subtitusi k(k+1)
k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2)
( (k2+k)(k+2) + 3(k2+3k+2) )/3
(k3 + 3k2 + 2k + 3k2 + 9k +6 )/3
(k3 + 6k2 + 11k +6)/3
Bagian Kanan
misalkan n = k+1
n(n+1)(n+2)/3
(k+1)(k+2)(k43)/3
(k² + 3k + 2)(k+3)/3
(k³ + 3k² + 3k² + 9k + 2k +6)/3
(k³ + 6k² + 11k +6 )/3
Sehingga untuk bisa disimpukan
(k³ + 6k2²+ 11k + 6 )/3 =³(k3 +²6K2 + 11k +6 )/3
Hasilnya sama, maka P(n) Terbukti Benar
n+ (n+1)
k(k+1) + (k+1)(k+2)
Subtitusi k(k+1)
k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2)
( (k2+k)(k+2) + 3(k2+3k+2) )/3
(k3 + 3k2 + 2k + 3k2 + 9k +6 )/3
(k3 + 6k2 + 11k +6)/3
Bagian Kanan
misalkan n = k+1
n(n+1)(n+2)/3
(k+1)(k+2)(k43)/3
(k² + 3k + 2)(k+3)/3
(k³ + 3k² + 3k² + 9k + 2k +6)/3
(k³ + 6k² + 11k +6 )/3
Sehingga untuk bisa disimpukan
(k³ + 6k2²+ 11k + 6 )/3 =³(k3 +²6K2 + 11k +6 )/3
Hasilnya sama, maka P(n) Terbukti Benar
7. xn – 1 habis dibagi oleh x – 1, x ≠ 1, n bilangan asli.
Jawaban :
Pembuktian untuk (n + 1)
(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n+1) - (n+1)
=n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n +1 -n-1
= n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 9n
Iklan untuk Anda: Ibu Rumah Tangga Ditemukan Dalam Perut Ular Raksasa: Rekamannya shocking!
Advertisement by
= (N^5 -n) + (5n^4 + 10^3 + 10n^2 + 10n)
= (n^5 -n) + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n)
Jika n^5 - n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bukat positif.
Karena persen(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n) habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan positif, maka terbukti bahwa (n+1)^5 - (n+1) habis dibagi 5.
(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n+1) - (n+1)
=n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n +1 -n-1
= n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 9n
Iklan untuk Anda: Ibu Rumah Tangga Ditemukan Dalam Perut Ular Raksasa: Rekamannya shocking!
Advertisement by
= (N^5 -n) + (5n^4 + 10^3 + 10n^2 + 10n)
= (n^5 -n) + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n)
Jika n^5 - n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bukat positif.
Karena persen(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n) habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan positif, maka terbukti bahwa (n+1)^5 - (n+1) habis dibagi 5.
8. Salah satu faktor dari n3 + 3n2 + 2n adalah 3, n bilangan asli.
Jawaban :
Untuk n = 1 maka bentuk menjadi
1^3+3.1^2+2.1 = 1 + 3 +2 = 6
Sehingga benar bahwa 3 adalah satu faktor dari bentuk tersebut.
Maka menjadi
k+1)63 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 3K^2 + 6k + 3 + 2k + 2
= (k^3 + 3k^2 + 2k) + (3k^2 + 9k + 6)
= (K^3 + 3k^2 + 2k) + 3(k^2 + 3k + 2)
Karena 3 adalah faktor k^2+3k^2+2k dan 3(k^2+3k+2) maka 3 adalah faktor dari (k+1)^2 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
Jadi dengan menggunakan induksi matematika disimpulkan bahwa 3 adalah salah satu faktor dari (n+1)*2 + 3(n+1)42 + 2(n+1) untuk semua bilangan bulat positif n.
1^3+3.1^2+2.1 = 1 + 3 +2 = 6
Sehingga benar bahwa 3 adalah satu faktor dari bentuk tersebut.
Maka menjadi
k+1)63 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 3K^2 + 6k + 3 + 2k + 2
= (k^3 + 3k^2 + 2k) + (3k^2 + 9k + 6)
= (K^3 + 3k^2 + 2k) + 3(k^2 + 3k + 2)
Karena 3 adalah faktor k^2+3k^2+2k dan 3(k^2+3k+2) maka 3 adalah faktor dari (k+1)^2 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
Jadi dengan menggunakan induksi matematika disimpulkan bahwa 3 adalah salah satu faktor dari (n+1)*2 + 3(n+1)42 + 2(n+1) untuk semua bilangan bulat positif n.
9. Salah satu faktor dari 22n – 1 + 32n – 1 adalah 5, n bilangan asli.
Jawaban :
Jika n = 1 maka
2^2n-1 + 3^2-1 =5
2^2(1)-1 + 3^2(1) - 1 = 5
2+3 = 5
Sehingga, benar bahwa 5 merupakan salah satu faktor dari 2^n-1 + 3^2n-1.
Langkah 2: Anggap bahwa n = k benar, gunakan untuk membuktikan bahwa n = k + 1
benar (langkah induksi)
Untuk n = k bentuk di atas menjadi
2^2k-1 + 3^2K-1 = 2^(2(k)-1) + 3^(2(k)-1)
Untuk n = k + 1 bentuk di atas menjadi
2^2-1 + 3^2-1 = 2^2(k+1)-1 + 3^2(k+1)-1 = 2^(2k+1) + 3^(2k+1)
2^(2(k)-1) + 3^(2(k)-1) = 2^(2k+1) + 3^(2k^1)
Maka
2^(2k+1) + 3^(2k+1) = 2^(2(k+1)-1) + 3^(2(k+1)-1) jadi terbukti.
Jika n = 1 maka
2^2n-1 + 3^2-1 =5
2^2(1)-1 + 3^2(1) - 1 = 5
2+3 = 5
Sehingga, benar bahwa 5 merupakan salah satu faktor dari 2^n-1 + 3^2n-1.
Langkah 2: Anggap bahwa n = k benar, gunakan untuk membuktikan bahwa n = k + 1
benar (langkah induksi)
Untuk n = k bentuk di atas menjadi
2^2k-1 + 3^2K-1 = 2^(2(k)-1) + 3^(2(k)-1)
Untuk n = k + 1 bentuk di atas menjadi
2^2-1 + 3^2-1 = 2^2(k+1)-1 + 3^2(k+1)-1 = 2^(2k+1) + 3^(2k+1)
2^(2(k)-1) + 3^(2(k)-1) = 2^(2k+1) + 3^(2k^1)
Maka
2^(2k+1) + 3^(2k+1) = 2^(2(k+1)-1) + 3^(2(k+1)-1) jadi terbukti.
Penutup
yak itulah tadi pembahasan Kunci Jawaban MTK Kelas 11 Halaman 24 - 26 Uji Kompetensi 1.2 . Jika
sekiranya ada yang kurang jelas ataupun keliru, silahkan teman-teman
berikan komentarnya dibawah. Dan mungkin sekiranya artikel ini membantu,
silahkan teman-teman bagikan artikel ini lewat whatsapp, instagram,
facebook dan lain-lain.