Jawaban Esai Ayo Kita Berlatih 7.4 Bab 7 MTK Halaman 104 Kelas 8 (Lingkaran)

Ayo Kita Berlatih 7.4
Halaman 102-103-104
B. Esai/essay/uraian
Bab 7 (Lingkaran)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13

B. Esai
1. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 10 cm. Lingkaran A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 11 cm dan 3 cm. Tentukan:
a. panjang garis singggung persekutuan luarnya (jika ada);
b. sketsa gambarnya (lengkap dengan garis singgung persekutuan luarnya, jika ada).
Penyelesaian:
Diketahui : 
jarak pusat lingkaran AB = 10 cm
jari-jari A = 11 cm
jari-jari B = 3 cm

Ditanya : 
a.  panjang garis singgung persekutuan luar
b.  sketsa gambar garis singgung persekutuan luar

Jawab : 
a.  panjang garis singgung persekutuan luar
     garis singgung persekutuan luar kita beri nama CD

CD² = AB² – (AD – BC)²
       = 10² – (11 – 3)²
       = 10² – 8²
       = 100 – 64
       = 36 
 CD = √36
       = 6 cm

Jadi panjang garis singgung persekutuan luar adalah 6 cm

b.  Sketsa gambar garis singgung persekutuan luar bisa dilihat pada lampiran.


__________________________

2. Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran C dan D adalah 24 cm. Jari-jari lingkaran C dan D berturut-turut 15 cm dan 8 cm. Tentukan:
a. jarak pusat kedua lingkaran tersebut (jika ada);
b. jarak kedua lingkaran tersebut (jika ada).
Penyelesaian:
a] Jarak pusat = √(garis singgung² + (R – r)²)
Jarak pusat = √(24² + (15 – 8)²)
Jarak pusat = √(576 + 49)
Jarak pusat = √(625)
Jarak pusat = 25 cm

b] Jarak kedua lingkaran
= jarak pusat – (R + r)
= 25 – (15 + 8)
= 25 – 23
= 2 cm
__________________________

3. Diketahui jarak antara lingkaran E dan F adalah 5 cm. Lingkaran E dan F memiliki jari-jari berturut-turut 13 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. (jika ada)
Penyelesaian:
S (jarak) = 5 cm
R (rE) = 13 cm
r (rF) = 4 cm

p (pusat) = s (jarak) + R + r
= 5 + 13 + 4
= 22 cm

d (garis singgung persekutuan luar) = √(p^2 – (R – r)^2)
= √(22^2 – (13 – 4)^2)
= √(484 – (9)^2)
= √(484 – 81)
= √403
= 20,1 cm
__________________________

4. Diketahui jumlah diameter lingkaran G dan H adalah 30 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm. Sedangkan jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 26 cm. Tentukan:
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut,
b. jarak kedua lingkaran.
Penyelesaian:
Diketahui : 
d₁ + d₂ = 30 cm
garis singgung persekutuan luar (d) = 24 cm
jarak pusat kedua lingkaran (p) = 26 cm

Ditanya : 
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut 
b. jarak kedua lingkaran

Jawab : 
jumlah jari-jari kedua lingkaran

d₁ + d₂ = 30
2R + 2r = 30     (kesemua ruas dibagi 2)
R + r = 15  … pers I

selisih jari-jari kedua lingkaran

d² = p² – (R – r)²
24² = 26² – (R – r)²
576 = 676 – (R – r)²
(R – r)² = 676 – 576
(R – r)² = 100
R – r = √100
R – r = 10   … pers II

a.  menentukan panjang jari-jari kedua lingkaran

eliminasi pers I dan II
R + r = 15
R – r = 10
————- +
2R    = 25
      R = 25/2
      R = 12,5 cm

subtitusi
R + r = 15
12,5 + r = 15
           r = 15 – 12,5
           r = 2,5 cm

Jadi jari-jari kedua lingkara tersebut adalah 12,5 cm dan 2,5 cm

b. Menentukan jarak kedua lingkaran

KL = p – (R + r)
     = 26 cm – (12,5 + 2,5) cm
     = 26 cm – 15 cm
     = 11 cm

Jadi jarak kedua lingkaran tersebut adalah 11 cm
__________________________

5. Diketahui jarak pusat lingkaran I dan J adalah 12 cm. Lingkaran I memiliki jari-jari 8 cm. Tentukan jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J. Jelaskan alasanmu.
Penyelesaian:
Diketahui
Jari-jari lingkaran I = 8 cm
Jarak kedua pusat lingkaran I dan J = 12 cm

Ditanya
Jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J

Jawab
Meskipun sepintas kasus ini termasuk dalam materi Lingkaran kelas VIII, namun ternyata dapat dikategorikan ke dalam aplikasi Pertidaksamaan SMA.

Siapkan
Jarak antar pusat JP = 12 cm
r₁ = jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I

Perhatikan skema gambar terlampir


Step-1
Rumus garis singgung persekutuan luar (GSPL)

Hubungan antara GSPL, JP (jarak antar pusat), dan jari-jari adalah


Anggap r₁ > r₂

Step-2
Syarat agar terdapat GSPL

Dari rumus di atas, syarat agar GSPL terdefinisikan adalah GSPL > 0
⇔ GSPL > 0
⇔ 

Selanjutnya, ingat syarat domain bagi fungsi di dalam akar kuadrat. Untuk  maka f(x) ≥ 0. 

⇔ 

Anggap r₂ sebagai jari-jari lingkaran terkecil, dalam hal ini r₂ = 8 cm 
⇔ 12² – (r₁ – 8)² ≥ 0
⇔ (r₁ – 8)² ≤ 12²
⇔ (r₁ – 8)² – 12² ≤ 0 ⇒ a² – b² = (a – b)(a + b)
⇔ (r₁ – 8 – 12)(r₁ – 8 + 12) ≤ 0
⇔ (r₁ – 20)(r₁ + 4) ≤ 0

Diperoleh r₁ = -4 dan r₂ = 20.
Uji tanda pada garis bilangan menghasilkan batas-batas nilai r₁, yakni
-4 ≤ r₁ ≤ 20.

Perhatikan, karena jari-jari lingkaran harus bernilai positif dan GSPL tidak mungkin sama dengan nol, batas-batas tersebut menjadi 0 < r₁ < 20.

Ingat
r₁ = jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I

Kesimpulan:
Agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J, panjang jari-jari lingkaran J harus kurang dari 20 cm.  
Atau, dengan kata lain panjang jari-jari lingkaran J maksimal nilainya mendekati 20 cm.
__________________________