|

Jawaban Ayo Kita Berlatih 6.4 Bab 6 MTK Halaman 40 Kelas 8 (Teorema Pythagoras)

Byadmin

Ayo Kita Berlatih 6.4
Halaman 40-42
Bab 6 (Teorema Pythagoras)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13

Jawaban Ayo Kita Berlatih 6.4 Bab 6 MTK Halaman 40 Kelas 8 (Teorema Pythagoras)

1. Tentukan panjang sisi yang ditunjukkan oleh huruf pada setiap gambar
di bawah.

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut, perbandingan sisi-sisi segitiga ditunjukkan pada gambar tersebut.

Pada gambar pertama (kiri), segitiga nya adalah segitiga siku-siku sama kaki. Perbandingan sisi nya :
sisi di depan sudut 45° : sisi di depan sudut 45° : sisi di depan sudut 90°
=1:1:√2

Pada gambar kedua (kanan), perbandingan sisi nya:
sisi di depan sudut 30° : sisi di depan sudut 60° : sisi di depan sudut 90° 
= 1:√3:2

A. a/√32=1/√2
√2×a=√32
a=√32/√2
a=√16
a=4 satuan

B. 72/a=1/√2
a=72×√2
a=72√2 satuan

C. b/16=√3/2
2b=16√3
b=(16√3)/2
b=8√3cm

D. c/17√2=1/√3
√3×c=17√2
c= frac{17 sqrt{2} }{ sqrt{3} } times frac{ sqrt{3} }{ sqrt{3} } = frac{17 sqrt{6} }{3}  satuan

d/17√2=2/√3
√3×d=17√2×2
√3d=34√2
d= frac{34 sqrt{2} }{ sqrt{3} } times frac{ sqrt{3} }{ sqrt{3} } = frac{34 sqrt{6} }{3}  satuan

E. a/5=2/1
a=5×2
a=10 satuan

b/5=√3/1
b=5×√3
b=5√3 satuan

F. d/20=1/2
2d=20
d=20/2
d=10 satuan

e/20=√3/2
2×e=20×√3
e=(20√3)/2
e=10√3 satuan
_____________________________

2. Tentukan keliling persegi ABCD berikut.

Penyelesaian:
Diketahui : 

Persegi ABCD
diagonal AC = 18√2

Ditanya : 
Keliling persegi ABCD

jawab : 
Perbandingan AB : AC = 1 : √2
AB : 18√2 = 1 : √2
frac{AB}{18 sqrt{2} } = frac{1}{ sqrt{2} }
AB =  frac{18 sqrt{2} }{ sqrt{2} }
AB = 18
AB = BC = 18 

Keliling = 4 × s
           = 4 × 18
           = 72

Jadi keliling persegi ABCD adalah 72
_____________________________


3. Tentukan luas segitiga berikut.

Penyelesaian:
Dalam gambar, sudut-sudut dalam segitiga itu adalah 45°, 45° dan 90°

Perbandingan sisi-sisi segitiga dengan sudut istimewa 45°

∠ 45 : ∠ 45 : ∠90 = 1 : 1 : √2

Diketahui panjang sisi miring atau panjang sisi yang menghadap sudut 90 adalah 16, untuk mencari luas segitiga kita cari panjang sisi-sisi siku-sikunya

Panjang sisi siku-siku : panjang sisi miring = 1 : √2

Panjang sisi siku-siku : 16 = 1 : √2

Panjang sisi siku-siku = 1/√2 x 16
                                    = 1/2 x √2 x 16
                                    = 8√2 

Luas segitiga   = 1/2 x panjang sisi siku-siku x panjang sisi siku-siku
                      = 1/2 x 8√2 x 8√2
                      = 4√2 x 8√2
                      = 32√4
                      = 32 x 2
                      = 64 satuan luas

Jadi luas segitiga tersebut adalah 64 satuan luas
_____________________________


4. Apa yang salah dengan gambar di bawah ini? Jelaskan.

Penyelesaian:
Agar lebih mudah dalam menjelaskan jawaban, kita misalkan  

sisi a = 8 cm berhadapan dengan sudut 30ᵒ
sisi b = 15 cm berhadapan dengan sudut 60ᵒ
sisi c = 17 cm berhadapan dengan sudut 90ᵒ
∠B = 60ᵒ

Ada beberapa kemungkinan kesalahan dalam segitiga pada gambar tersebut, tergantung yang diketahuinya.


Pertama 

Jika sisi-sisi segitiga siku-siku tersebut adalah 8 cm, 15 cm dan 17 cm, maka kesalahannya adalah sudut dihadapan 15 cm ≠ 60ᵒ (besar sudutnya tidak perlu dituliskan), karena jika sudut-sudut pada segitiga tersebut adalah 30ᵒ, 60ᵒ dan 90ᵒ, maka perbandingan sisi-sisinya pada segitiga tersebut seharusnya adalah 1 : √3 : 2

Kedua
Jika ∠B = 60ᵒ dan a = 8 cm, maka b ≠ 15 cm dan c ≠ 17 cm,
Dengan perbandingan, diperoleh sisi b dan c yaitu
a : b = 1 : √3
frac{a}{b} = frac{1}{sqrt{3}}
frac{8 : cm}{b} = frac{1}{sqrt{3}}
b = 8√3 cm

a : c = 1 : 2
frac{a}{c} = frac{1}{2}
frac{8}{c} = frac{1}{2}
c = 16 cm
jadi jika ∠B = 60ᵒ dan a = 8 cm, maka ukuran segitiga tersebut adalah 8 cm, 8√3 cm dan 16 cm

Ketiga
Jika ∠B = 60ᵒ dan b = 15 cm, maka a ≠ 8 cm dan c ≠ 17 cm,
Dengan perbandingan, diperoleh sisi b dan c yaitu
a : b = 1 : √3
frac{a}{b} = frac{1}{sqrt{3}}
frac{a}{15 : cm} = frac{1}{sqrt{3}}
a√3 = 15 cm ——-> kedua ruas kali √3
a√3 × √3 = 15 cm × √3
a√9 = 15√3 cm
a.3 = 15√3 cm
a = 5√3 cm

b : c = √3 : 2
frac{b}{c} = frac{sqrt{3}}{2}
frac{15 : cm}{c} = frac{sqrt{3}}{2}
c√3 = 2(15 cm) ——-> kedua ruas kali √3
c√3 × √3 = 30 cm × √3
c√9 = 30√3 cm
c.3 = 30√3 cm
c = 10√3 cm
jadi jika ∠B = 60ᵒ, dan b = 15 cm maka ukuran segitiga tersebut adalah 5√3 cm, 15 cm dan 10√3 cm

Keempat
Jika ∠B = 60ᵒ dan c = 17 cm, maka a ≠ 8 cm dan b ≠ 15 cm,
Dengan perbandingan, diperoleh sisi b dan c yaitu
a : c = 1 : 2
frac{a}{c} = frac{1}{2}
frac{a}{17 : cm} = frac{1}{2}
2a = 17 cm
a = 8,5 cm

b : c = √3 : 2
frac{b}{c} = frac{sqrt{3}}{2}
frac{b}{17 : cm} = frac{sqrt{3}}{2}
2b = 17√3 cm
b = 8,5√3 cm
jadi jika ∠B = 60ᵒ, dan c = 17 cm maka ukuran segitiga tersebut adalah 8,5 cm; 8,5√3 cm dan 17 cm
_____________________________


5. Tentukan luas persegi panjang KLMN berikut.

Penyelesaian:
Step-1: perbandingan panjang sisi-sisi

Perhatikan segitiga siku-siku KLN. 

sisi di hadapan sudut 30° = KN
sisi di samping sudut 30° = KL
sisi miring (diagonal persegi panjang) = LN
Dalam segitiga siku-siku dengan sudut 30°, terdapat perbandingan panjang sisi-sisi sebagai berikut:
boxed{~KN : KL : LN = 1 : sqrt{3} : 2~}
Perbandingan panjang sisi-sisi ini sesuai dengan teorema Phytagoras, yakni 
boxed{~KN^2+KL^2=LN^2 rightarrow (1)^2 + (sqrt{3})^2 = (2)^2~}

Step-2: mencari panjang sisi KN dan KL

Diketahui LN = 8 cm, maka gunakan perbandingan

KN : LN = 1 : 2 atau frac{KN}{LN} = frac{1}{2}
KN = LN times frac{1}{2}
KN = 8 times frac{1}{2}
Diperoleh KN = 4 cm

KL : LN = √3 : 2 atau frac{KL}{LN} = frac{sqrt{3}}{2}
KL = LN times frac{sqrt{3}}{2}
KL = 8 times frac{sqrt{3}}{2}
Diperoleh KL = 4√3 cm

Kita amati peranan dari panjang sisi miring LN serta perbandingan panjang sisi-sisi yang diperlukan untuk menghitung panjang sisi KN dan KL.

Step-3: menghitung luas persegi panjang KLMN
Luas KLMN = panjang x lebar
Luas KLMN = KL x KN
Luas KLMN = 4√3 x 4 
Diperoleh luas KLMN sebesar 16√3 cm².
_____________________________

Lihat Juga  Diketahui f(x) = 3x-1. Tentukanlah rumus fungsi f -1(x) dan tentukan juga f -1(81)

6. Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC di bawah. Tentukan:
a. keliling segitiga ABC,
b. tentukan luas segitiga ABC.

Penyelesaian:
Yang diketahui AD = 8 cm pada Δ ADC
Perhatikan Δ ADC siku-siku di D, ∠ CAD = 60° dan ∠ ACD = 30°

AC : AD = 2 : 1
   AC : 8 = 2 : 1
        AC = 8 × 2
        AC = 16 cm

AD : CD = 1 : √3
   8 : CD = 1 : √3
   8 / CD = 1 / √3
        CD = 8 × √3
        CD = 8√3 cm

Perhatikan Δ BDC  siku-siku di D, ∠ CBD = 30° dan ∠ DCB = 60°

CD : BD = 1 : √3
8√3 : BD = 1 : √3
8√3 / BD = 1 / √3
        BD = 8√3 × √3
        BD = 8 × 3
        BD = 24 cm

CD : BC = 1 : 2
8√3 : BC = 1 : 2
8√3 / BC = 1 / 2
        BC = 8√3 × 2
        BC = 16√3 cm

a.  Keliling Δ ABC = AD + BD + BC + AC
                             = 8 cm + 24 cm + 16√3 + 16 cm
                             = 48 cm + 16√3 cm
                             = 16 (3 + √3) cm
   Jadi keliling segitiga ABC adalah 16 (3 + √3) cm

b.  Luas Δ ABC = 1/2 × AB × CD
                         = 1/2 × (8 + 24) cm × 8√3 cm
                         = 1/2 × 32 × 8√3 cm²
                         = 16 × 8√3 cm²
                         = 128√3 cm²

    Jadi luas segitiga ABC adalah 128√3 cm²
_____________________________


7. Tentukan luas trapesium di bawah ini.

Penyelesaian:


Tentukan luas trapesium di bawah ini. Dari tahapan pengerjaan diperoleh luas trapesium sebesar boxed{~frac{1}{4}(2+ sqrt{3}) satuan luas~} atau boxed{~(frac{1}{2}+ frac{1}{4} sqrt{3}) satuan luas~}

Pembahasan
Step-1: siapkan perbandingan dasar ΔABC

Pada gambar terlampir telah dibuat segitiga siku-siku ABC dengan ∠A = 30°.

Sesuai ketentuan, angka banding dari panjang sisi-sisinya adalah sebagai berikut:

sisi BC yang terletak di hadapan sudut A adalah 1;  
sisi AB yang terletak di samping sudut A adalah √3;  
sisi miring AC adalah 2
Jadi perbandingan dasarnya adalah BC : AB : AC = 1 : √3 : 2.

Mari kita pertegas sekali lagi. Pada segitiga siku-siku yang memuat sudut-sudut istimewa 30° dan 60°, perbandingan panjang sisi-sisi sebagai berikut:  

angka banding panjang sisi depan sudut 30° (sisi samping sudut 60°) adalah 1;  
angka banding panjang sisi samping sudut 30° (sisi depan 60°) adalah √3;  
angka banding panjang sisi miring dengan sudut 30° dan 60° adalah 2.
Ketiga angka banding tersebut memenuhi teorema Phytagoras, boxed{~(1)^2 + (sqrt{3})^2 = (2)^2~} . Ingat, (√3)² = 3.

Pada segitiga siku-siku sama kaki yang memuat sudut-sudut kaki 45°, perbandingan panjang sisi-sisi sebagai berikut:

angka banding panjang sisi depan dan samping sudut 45° adalah 1;  
angka banding panjang sisi miring sudut 45° adalah √2.
Ketiga angka banding tersebut memenuhi teorema Phytagoras, boxed{~(1)^2 + (1)^2 = (sqrt{2})^2~} . Ingat, (√2)² = 2.

Step-2: siapkan panjang sisi-sisi ΔKQL

Perhatikan segitiga siku-siku KLQ pada trapesium dengan ∠K = 30°.

Panjang sisi miring KQ telah diketahui sebesar 1 satuan panjang.

Hubungan antara KQ dan AC adalah KQ = ¹/₂ x AC.

Sehingga untuk memperoleh panjang KL dan QL kita kalikan angka-angka perbandingan dasar dengan ¹/₂.

⇒ KQ bersesuaian dengan AC, jadi KQ = ¹/₂ x 2 = 1

⇒ LQ bersesuaian dengan BC, jadi LQ = ¹/₂ x 1 = 0,5

⇒ KL bersesuaian dengan AB, jadi KL = ¹/₂ x √3 = 0,5√3

Step-3: hitung luas trapesium

ΔMNP kongruen dengan ΔKLQ.  
Panjang PQ = LM = 1.  
Panjang KN = KL + LM + LN, yakni  0,5√3 + 1 +  0,5√3 diperoleh KN = 1 + √3.
Sekali lagi kita pertegas data-data yang diperlukan,

panjang sisi atas trapesium = 1 satuan panjang;  
panjang sisi alas trapesium adalah KN = 1 + √3 satuan panjang;  
panjang tinggi trapesium = 0,5 satuan panjang.
boxed{~Luas trapesium = frac{(jumlah dua sisi sejajar)times tinggi}{2}~}
Luas = frac{(1+1+ sqrt{3})times0,5 }{2}
Luas= frac{2+ sqrt{3} }{4}

Lihat Juga  Seorang penjual membeli baju dari grosir dengan harga Rp30.000,00. Baju tersebut dijual dengan label harga Rp60.000,00 dengan bertuliskan diskon 20%

Diperoleh luas trapesium sebesar 
frac{1}{4}(2+ sqrt{3}) satuan luas atau (frac{1}{2}+ frac{1}{4} sqrt{3}) satuan luas
_____________________________


8. Perhatikan gambar segitiga ABC di bawah ini. Diketahui ∠ABC = 90°, ∠CDB = 45°, ∠CAB = 30°, dan AD = 2 cm. Tentukan panjang BC.

Penyelesaian:
Perhatikan gambar pada lampiran, perbandingan sisi-sisi segitiga ditunjukkan pada gambar tersebut.

Pada gambar pertama (kiri), segitiga nya adalah segitiga siku-siku sama kaki.
Perbandingan sisi nya :
sisi di depan sudut 45° : sisi di depan sudut 45° : sisi di depan sudut 90°=1:1:√2

Pada gambar kedua (kanan), perbandingan sisi nya:
sisi di depan sudut 30° : sisi di depan sudut 60° : sisi di depan sudut 90° = 1:√3:2
Perhatikan segitiga BCD:

∠DBC=90°
∠CDB=45°
∠BCB=180°-∠DBC-∠CDB=180°-90°-45°=45°
Jadi, segitiga BCD adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan BD=BC … (persamaan 1)

Perhatikan segitiga ABC:
∠ABC=90°
∠CAB=30°
∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-90°-30°=60°
AD=2cm

Gunakan perbandingan sisi-sisi segitiga:
frac{BC}{AB}= frac{1}{ sqrt{3} }
frac{BC}{AD+BD}= frac{1}{ sqrt{3} }

subtitusi persamaan 1:
frac{BC}{AD+BD}= frac{1}{ sqrt{3} }
frac{BC}{AD+BC}= frac{1}{ sqrt{3} }
sqrt{3}BC=AD+BC \ sqrt{3} BC-BC=AD \ (sqrt{3}-1)BC=AD \ BC= frac{AD}{ sqrt{3}-1 } \ BC= frac{2}{ sqrt{3}-1 } times frac{ (sqrt{3}+1) }{ (sqrt{3}+1) } \ BC= frac{2( sqrt{3}+1) }{(3-1)}= (sqrt{3}+1)cm
_____________________________


9. Perhatikan balok ABCD.EFGH di samping. Jika besar ∠BCA = 60o, tentukan:

a. panjang AC,
b. luas bidang ACGE.
Penyelesaian:
Untuk memudahkan mengingat perbandingan segitiga siku-siku yang mempunyai sudut 30° dan 60° adalah 
sisi tependek = 1
sisi menengah = √3
sisi terpanjang = 2

atau bisa ditulis
alas : tinggi : hipotenusa = 1 : √3 : 2
—————————————————-

Untuk lebih jelas gambarnya ada pada lampiran
Sepertinya tinggi balok belum ada.
Saya asumsikan saja tinggi balok sama dengan panjang BC

Diketahui : 
∠ BCA = 60°
BC = CG = 24 cm

Ditanya : 
a.  Panjang AC ?
b.  Luas bidang ACGE

Jawab : 
a. 
AC : BC = 2 : 1
AC : 24 = 2 : 1
AC / 24 = 2 / 1
AC = 24 × 2
AC = 48 cm
Jadi panjang AC adalah 48 cm

b.
Luas ACGE = AC × CG
                    = 48 cm × 24 cm
                    = 1152 cm²
Jadi luas bidang ACGE adalah 1152 cm²
_____________________________


10. Gambar di samping adalah jaring-jaring piramida segitiga.

a. Berapakah panjang b?
b. Berapakah luas permukaan piramida?
Penyelesaian:
Sisi b adalah sisi miring atau hipotenusa pada sebuah segitiga siku-siku sama kaki, maka untuk mencari b kita bisa menggunakan teorema phytagoras:
b²=4²+4²
b²=16+16
b²=32
b=√32
b=√(16×2)
b=4√2 cm

Sekarang perhatikan segitiga bagian alas piramida (lihat lampiran), diketahui alas segitiga nya adalah b=4√2cm. Tinggi segitiga dapat dicari dengan menggunakan teorema phytagoras:
t²=(4√2)²-(2√2)²
t²=32-8
t²=24
t=√24
t=√(4×6)
t=2√6 cm

Luas permukaan piramida=Luas alas + (3 x Luas sisi tegak)
=((1/2)×(4√2)×2√6)+(3×(1/2)×4×4)
=4√12+24
=(4√(4×3))+24
=(4×2√3)+24
=(8√3+24)cm²
_____________________________

Lihat Juga  sebuah benda jatuh dari puncak sebuah gedung dengan percepatan 9,8 meter per sekon kuadrat waktu yang diperlukan untuk sampai ke tanah adalah 10 detik berapa tinggi gedung tersebut

Similar Posts